很烦，每次见到仿真环境中的旋转表示总是弄不清楚，总感觉旋转次序和主动被动对象乱乱的，今天重新再整理一遍吧..
旋转与姿态表示的初始形态：旋转矩阵
无论是旋转还是姿态的描述，本质上都是两个坐标轴之间的角度关系，即 $O_0$ 和 $O_1$ 的 $x,y,z$ 三个轴之间两两对应的角度值，只需要这 9 个角度，我们就可以唯一确定两个坐标轴之间的关系。
如果将这个“关系”应用到姿态表示上，该“关系”就可以解释为：物体的 local 坐标系和某个 global 坐标系之间的角度关系（投影分量）。
如果将这个“关系”应用到旋转上，该 “关系” 就可以解释为：物体的 新姿态 $O_1$ 和旧姿态 $O_0$ 之间的各个轴的线性组合权重（投影分量）。
旋转矩阵的元素其实很简单，就是 9 个 cos 量，但比较复杂或者比较乱的是着 9 个余弦量是怎么排列组合的。但这个排列顺序和旋转矩阵本身是没有关系，决定其排列顺序的是这个旋转矩阵的应用目标，或者说哪个向量会被这个旋转矩阵相乘。在运算成立的情况下，以列向量 $v$ 为例，旋转矩阵的行向量表示的就是另外一个坐标系的 $X$ 轴在 $v$ 所在的坐标系中的投影分量，这个是固定不变的。
内旋和外旋，左乘还是右乘
如果我们把向量定义成列向量，那旋转矩阵只能对列向量进行左乘。
如果我们要讨论对某个物体（向量）施加旋转，那无论旋转多少次，在这个语境中只会有两个坐标系，观察坐标系 $O_0$ 或者是 global 坐标系，本体坐标系 $O_1$ 或者说 local 坐标系。local 坐标系是和物体（向量）固连的，local 坐标系和 global 坐标系之间的关系，便是物体的姿态。
为什么向量可以表示物体？因为我们可以取物体上的一个点的坐标来代表这个物体。实际上我们对物体施加旋转的时候，应该是对他的每个点进行变换。
对于初始状态（也就是旧姿态，这时候物体的姿态一般就直接定义为 $I$，因此也就等同于 global 坐标系 $O_0$，或者根据某个约定（比如物体的某个点要沿着 global 坐标系的某个轴进行绑定）对初始姿态进行控制。
那旋转矩阵便是“新姿态 $O_1$ 和旧姿态 $O_0$ 之间的各个轴的线性组合权重”
而新姿态 $O_1$ ，物体的新的 local 坐标系 global 坐标系之间的关系
因此当我们使用旋转矩阵对物体（向量）进行左乘的时候，就是去计算，经过旋转之后，物体的新的 local 坐标系的各个轴应该怎么组合成 global 坐标系下的 $X$ 轴，$Y$ 轴以及 $Z$ 轴？或者说经过旋转变化之后，我们还是想在 global 坐标系去描述物体上的各个点，那旋转矩阵的 行向量 其实就是旋转后的物体的各个点在 global 坐标系下的 $X$ 应该由原始的坐标表示怎么组合起来。矩阵的每一列，就是 local 坐标系的 $X$、$Y$、$Z$ 轴在 global 里的样子（比如列1就是 global 各个坐标轴在 local 坐标系的 $X$ 轴的投影）。左乘运算，就是在计算： “ 用了多少个 local $X$（列1） + 多少个 local $Y$（列2） + … ” 最终拼出了 global 的位置。
这就称之为外旋，旋转顺序是从右到左的，每次运算都是在计算物体在 global 坐标系下的新的坐标表示。
那如果我们要从左向右运算呢？那这种情况只会发生在两个旋转矩阵之间，比如 $R_1^2$ 表示姿态 $O_2$ 和 $O_1$ 之间的关系，$R_2^3$ 同理。
那 $R_1^2 \cdot R_2^3$ 展开会是什么样的？
我们把 $R_1^2$ 的 $r_1$ 定义为 $O_1$ 的 $X$ 轴在 $O_2$ 的各个坐标系中的投影（当然定义成 $O_2$ 在 $O_1$ 中的投影也是可以的，只是取决于右侧的向量是在哪个坐标系中）
统一规则下，我们把 $R_2^3$ 的 $c_1$ 定义为 $O_3$ 的 $X$ 轴在 $O_2$ 的各个坐标系中的投影。
向量的点积的几何含义为两个向量之间的夹角
这样，$r_1 \cdot c_1$ 就会变成，两个坐标系的 $X$ 轴在一个公共的坐标系 $O_2$ 中的夹角，也就是 $O_1$ 的 $X$ 轴与 $O_3$ 的 $X$ 轴的夹角
以此类推，可以得到 $R_1^2 \cdot R_2^3$ 的行向量 $r_1^3$ 是 $O_1$ 的 $X$ 轴在 $O_3$ 的各个坐标系中的投影
这样 $R_1^2 \cdot R_2^3$ 就可以按照上面同样的规则写作 $R_1^3$，表示姿态 $O_3$ 和 $O_1$ 之间的关系
这个过程就是内旋，我们把姿态 $O_1$ 与 $O_2$ 的关系，经过一个旋转矩阵变换到了 $O_3$ 中，
为什么这代表了内旋 (Mobile/Intrinsic Rotation)？
让我们回头看一眼右边的矩阵 $R_2^3$。
数学定义上：$R_2^3$ 表示的是 $O_3$ 相对于 $O_2$ 的姿态。这意味着，这一步旋转的参考基准 是 $O_2$。
物理过程上：
- 先有了 $R_1^2$：物体（或坐标系）已经从 $O_1$ 变换到了 $O_2$。此时，$O_2$ 就是物体当前的姿态。
- 再乘上 $R_2^3$：我们是在 $O_2$ 的基础上继续旋转的。
因为第二个旋转矩阵 $R_2^3$ 是定义在 $O_2$（上一步旋转的结果）之上的，而不是定义在 $O_1$（最开始的坐标系）之上的。
既然 $O_2$ 是跟随物体运动的“动坐标系”，那么基于 $O_2$ 进行的旋转 $R_2^3$，自然就是绕着动轴的旋转（内旋）。
这就是为什么从左向右的矩阵连乘（右乘），对应着动轴旋转：每一次新的旋转，都发生在“上一次旋转形成的新坐标系”里。
所以会有一个特性，外旋的变换顺序会相当于内旋的反方向变换
对于 $R_1^2$ 这个矩阵有两种解读方法：
作为动作：它表示把一个物体从 1 的姿态旋转到 2 的姿态。
作为坐标计算：它表示把 2 中的坐标数值 变换为 1 中的坐标数值。
我想知道 $v$ 在 1 中是多少 ($v_1$)。
我知道 $v$ 在 2 中是多少 ($v_2$)。
因为 2 这个坐标系本身 就是由 1 这个坐标系 经过 $R_{12}$ 旋转（Active） 得到的。
所以，位于 2 中的向量 $v_2$，本质上就是把位于 1 中的同名向量 $v$ 跟着坐标系一起转了 $R_{12}$ 那么多。
因此，计算 $v_1$ 的公式就是：让 $v_2$ 的数值经历一次 $R_{12}$ 的旋转动作。
$$ v_1 = R_{12} \cdot v_2 $$
四元数和旋转矩阵是同构的（Hamilton Convention），因此四元数之间的乘法顺序和内旋外旋的关系和旋转矩阵是一致的。